Paradoxo de Simpson na prática

O que é cada coisa

1. Taxa de sucesso: quantos casos deram certo, divididos pelo total de casos. 9 sucessos em 10 cirurgias dá 90%.
2. Total: o resultado juntando todos os casos, sem separar por tipo.
3. Grupo: um pedaço dos dados separado por alguma característica. Aqui, os grupos são as cirurgias simples e as complicadas.
4. Média ponderada: uma média em que cada grupo pesa conforme a quantidade de casos que tem. O total de cada médico é uma média ponderada dos grupos dele.
5. Paradoxo de Simpson: quando uma diferença entre dois lados aparece, some ou se inverte ao separar os dados em grupos. "Paradoxo" aqui quer dizer que parece uma contradição, mas as contas estão certas. O nome vem do estatístico E. H. Simpson, que escreveu sobre o efeito em 1951.
6. Viés: tratamento desigual entre pessoas ou grupos.
7. Planilha: célula é cada quadradinho; a célula A1 fica na coluna A e na linha 1, no canto de cima à esquerda. Fórmula é uma conta que começa com o sinal de igual (=) e que a planilha calcula sozinha.

O exemplo dos dois médicos

Juntando todas as cirurgias, o médico B tem 74,5% de sucesso e o médico A tem 35,5%. Parece óbvio escolher o B.

Separando por tipo de cirurgia:

• Nas simples, o A tem 90% (9 de 10) e o B tem 80% (80 de 100).
• Nas complicadas, o A tem 30% (30 de 100) e o B tem 20% (2 de 10).

O A ganha nos dois tipos e perde no total. Isso acontece porque, das 110 cirurgias complicadas, 100 ficaram com o A, e, das 110 simples, 100 ficaram com o B. O total de cada médico é a média dos casos dele, e 100 dos 110 casos do A são os difíceis. Por isso a média dele cai.

A conta do total, passo a passo:

• Médico A: (9 + 30) sucessos em (10 + 100) cirurgias = 39 de 110 = 35,5%.
• Médico B: (80 + 2) sucessos em (100 + 10) cirurgias = 82 de 110 = 74,5%.

A planilha pronta

1. Abra uma planilha nova no Excel ou no Google Planilhas.
2. Clique na célula A1 e cole os dados abaixo. Cada linha vira uma linha da planilha, e cada coluna fica numa célula separada:

Médico	Tipo	Casos	Sucessos
A	Simples	10	9
A	Complicadas	100	30
B	Simples	100	80
B	Complicadas	10	2

Se tudo ficou numa célula só, selecione a coluna A e use Dados, Texto para colunas (no Excel) ou Dados, Dividir texto em colunas (no Google Planilhas), escolhendo tabulação como separador. Ou digite os dados à mão, um valor em cada célula.

3. Na célula E1, escreva Taxa. Na célula E2, cole a fórmula abaixo. Ela divide os sucessos pelos casos daquela linha:

=D2/C2

4. Leve a fórmula para as linhas de baixo: clique na E2, segure o quadradinho no canto de baixo à direita da célula e puxe até a E5. Ou copie a E2 e cole na E3, na E4 e na E5. Depois selecione da E2 à E5 e clique no botão de porcentagem (%) na barra de ferramentas.
5. Agora o total de cada médico. Na célula G1, escreva Médico. Na G2, escreva a letra A (o nome do médico). Na G3, escreva a letra B. Na H1, escreva Taxa no total. Na célula H2, cole a fórmula abaixo. Ela soma os sucessos daquele médico e divide pela soma dos casos dele:

=SOMASE($A$2:$A$5;G2;$D$2:$D$5)/SOMASE($A$2:$A$5;G2;$C$2:$C$5)

6. Leve a fórmula da H2 para a H3, do mesmo jeito do passo 4, e formate as duas como porcentagem. Para ver uma casa depois da vírgula (35,5% em vez de 35%), clique uma vez no botão de aumentar casas decimais.
7. Compare. Na coluna E, o A ganha nas simples (90% contra 80%) e nas complicadas (30% contra 20%). Na coluna H, o A perde no total (35,5% contra 74,5%). Esse é o paradoxo.

Se aparecer erro na fórmula do passo 5, a sua planilha pode estar em outro idioma. Troque SOMASE por SUMIF e os pontos e vírgulas por vírgulas: =SUMIF($A$2:$A$5,G2,$D$2:$D$5)/SUMIF($A$2:$A$5,G2,$C$2:$C$5). Se ainda der erro, faça a troca ao contrário.

Teste você mesmo

Dê ao médico B a mesma mistura de casos do A e veja o paradoxo sumir. As taxas de cada tipo continuam iguais; muda só a quantidade:

• Na linha do B com cirurgias simples, troque a C4 para 10 e a D4 para 8 (continua 80%).
• Na linha do B com cirurgias complicadas, troque a C5 para 100 e a D5 para 20 (continua 20%).

Agora o total do B cai para 25,5% (28 de 110), e o A, com 35,5%, passa a ganhar. A taxa de cada médico em cada tipo de cirurgia não mudou. Mudou a mistura de casos. Depois, volte os valores originais (C4 100, D4 80, C5 10, D5 2) para guardar o exemplo.

Aconteceu de verdade: Berkeley

Um estudo de 1975 sobre a pós-graduação da Universidade de Berkeley, nos Estados Unidos, mostrou o mesmo efeito. No total, os homens eram aprovados com mais frequência que as mulheres. Mas, olhando cada departamento separado, os autores não encontraram viés contra as mulheres. A diferença vinha de onde cada um se candidatava: as mulheres se inscreviam mais em departamentos com taxa de aprovação menor, ou seja, onde era mais difícil entrar. Taxa de aprovação é o número de aprovados dividido pelo número de candidatos.

O estudo é de Bickel, Hammel e O’Connell, publicado na revista Science.

Resumo para guardar

1. Um total pode esconder o que acontece dentro de cada grupo.
2. O total é uma média que pesa cada grupo pela quantidade de casos.
3. No exemplo, o médico A pegou mais casos difíceis e a média dele caiu, mesmo tendo taxa maior em cada tipo.
4. Separar ajuda a enxergar, mas a decisão depende de entender a causa.

Fontes

Stanford Encyclopedia of Philosophy, Simpson's Paradox. Bickel, Hammel e O’Connell (1975), Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Science 187(4175), p. 398 a 404.

Conteúdo educativo e independente.